日期:2026/02/23   IAE 

第三部

文明數學模型（完整推導版）

The Mathematical Foundations of Civilizational Economics

本部目標：
將第二部之哲學基礎形式化為可推導、可驗證、可量化之數學結構。

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Chapter 9

文明效用函數的形式化推導

一、基本定義

設：

•  

• $L$$L$ = 生活品質指數（Living Index）

•  

• $S$$S$ = 生存穩定指數（Survival Index）

•  

• $LC$$LC$ = 生命延續概率（Life Continuity Probability）

定義文明效用函數：

 

$$U_c = L \cdot S \cdot LC$$Uc​=L⋅S⋅LC

此為三維乘積模型。

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二、乘積模型合理性證明

若採加法模型：

$$U = L + S + LC$$$$U=L+S+LC$$

則當：

$$S \rightarrow 0$$$$S\to 0$$

仍可能存在：

$$U > 0$$$$U>0$$

此與文明實際狀況不符。

若生存條件崩潰，文明必然歸零。

因此必須滿足：

$$\exists i \text{ such that } X_i = 0 \Rightarrow U_c = 0$$∃i such that Xi​=0⇒Uc​=0

僅乘法模型符合此條件。

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三、對數轉換與穩定性分析

取自然對數：

$$\ln U_c = \ln L + \ln S + \ln LC$$lnUc​=lnL+lnS+lnLC

可分析邊際貢獻：

$$\frac{\partial \ln U_c}{\partial L} = \frac{1}{L}$$∂L∂lnUc​​=L1​

顯示：

當某一維度低時，其邊際提升貢獻最大。

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Chapter 10

文明風險函數與崩潰閾值

一、文明風險定義

設：

•  

• $E_c$Ec​ = 生態消耗速度

•  

• $R_g$Rg​ = 地球再生速度

定義文明風險指數：

$$CR = \frac{E_c}{R_g}$$CR=Rg​Ec​​

若：

$$CR > 1$$$$CR>1$$

系統進入不可持續區間。

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二、文明崩潰閾值模型

設文明存續概率：

$$LC = e^{-k(CR - 1)}$$LC=e−k(CR−1)

其中：

•  

• $k$$k$ = 敏感係數

當：

$$CR \rightarrow \infty$$$$CR\to \infty$$

則：

$$LC \rightarrow 0$$$$LC\to 0$$

文明效用歸零。

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Chapter 11

慈愛係數與文明乘數推導

一、慈愛係數定義

設：

•  

• $A$$A$ = 利他行為比例

•  

• $T$$T$ = 社會信任指數

定義慈愛係數：

$$C_c = f(A, T)$$Cc​=f(A,T)

假設線性關係：

$$C_c = \alpha A + \beta T$$Cc​=αA+βT

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二、文明乘數

定義調整後文明效用：

$$U^* = U_c \cdot (1 + C_c)$$U∗=Uc​⋅(1+Cc​)

當社會信任與利他行為提高時：

文明效用呈非線性放大。

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Chapter 12

邊際生命效用遞增法則

傳統邊際效用：

$$\frac{\partial U}{\partial C} < 0$$∂C∂U​<0

慈善經濟主義提出：

對精神與利他投入：

$$\frac{\partial^2 U}{\partial A^2} > 0$$∂A2∂2U​>0

即邊際生命效用遞增。

原因：

• 利他行為增加信任

• 信任降低交易成本

• 交易成本下降提高系統穩定

形成正回饋。

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Chapter 13

文明穩定條件與動態方程

定義文明動態：

$$\frac{dU_c}{dt} = f(I, R, E)$$dtdUc​​=f(I,R,E)

其中：

•  

• $I$$I$ = 教育與創新投資

•  

• $R$$R$ = 責任內生化程度

•  

• $E$$E$ = 生態消耗

穩定條件：

$$\frac{dU_c}{dt} \geq 0$$dtdUc​​≥0

若長期：

$$\frac{dU_c}{dt} < 0$$dtdUc​​<0

文明進入衰退軌道。

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Chapter 14

CSR × CGR 數學整合模型

設：

$$CSR \in [0,100]$$$$CSR\in [0,100]$$ $$CGR \in [0,100]$$$$CGR\in [0,100]$$

文明責任總指數：

$$ICRS = \alpha CSR + \beta CGR$$$$ICRS=\alpha CSR+\beta CGR$$

將其納入文明效用：

$$U_{total} = U_c \cdot \left(1 + \frac{ICRS}{200}\right)$$Utotal​=Uc​⋅(1+200ICRS​)

若企業責任提升：

文明效用增長率提高。

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Chapter 15

長期文明最優化條件

定義社會目標函數：

$$Max \int_{0}^{\infty} U_c e^{-\rho t} dt$$Max∫0∞​Uc​e−ρtdt

慈善經濟主義主張：

$$\rho \rightarrow 0$$$$\rho \to 0$$

即文明時間折現率趨近於零。

未來世代權重與當代相等。

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第三部總結

本部完成：

1. 文明效用乘積模型推導

2. 文明風險閾值函數

3. 慈愛係數與文明乘數

4. 邊際生命效用遞增條件

5. CSR × CGR 數學整合

6. 文明長期最優控制模型

此構成：

慈善經濟主義之數學核心
文明級經濟函數架構
企業責任量化與宏觀政策設計基礎