慈善經濟主義的「需求函數」形式,或需求曲線數學函數

知識14

日期:2026/02/07 IAE

「效用函數核心」推導成：

慈善經濟主義的需求函數（General Demand Function）
對應的需求曲線數學形式
它為何與傳統需求理論產生根本斷裂

全程保持：可寫進期刊、可被審稿、可被反駁。

一、關鍵前提：慈善經濟主義的效用不是「商品效用」

先明確一個理論定位（非常重要）：

在慈善經濟主義中，
需求不是對商品的偏好排序，
而是對「生命狀態改善」的結構性需求。

因此，你的需求函數不是
$x (p, y)$ $x (p, y)$ （對商品 x 的需求），
而是對 效用構成要素的需求。

二、原始效用函數（回顧）

你給定的文明效用核心是：

$U = f(L \times S \times V)$ $U = f (L \times S \times V)$

其中：

$L$ $L$ ：生活效用（尊嚴、穩定、參與）

$S$ $S$ ：生存效用（韌性、風險抵禦、代際）

$V$ $V$ ：生命效用（意義、使命、精神成長）

這是一個不可替代的乘積效用函數。

三、第一步轉換：把效用來源寫成「投入向量」

任何需求函數都來自一個「約束下的效用極大化問題」。

3.1 定義文明投入向量（Decision Variables）

令社會（或個體、制度）可配置的投入為：

$\mathbf{x} = (x_L, x_S, x_V)$ $x = (x_{L}, x_{S}, x_{V})$

其中：

$x_L$ $x_{L}$ ：投入於提升生活效用的資源

$x_S$ $x_{S}$ ：投入於提升生存效用的資源
$x_V$ $x_{V}$ ：投入於提升生命效用的資源

並假設效用生成函數為：

$L = L(x_L), \quad S = S(x_S), \quad V = V(x_V)$ $L = L (x_{L}), S = S (x_{S}), V = V (x_{V})$

且 $L', S', V' > 0$ $L^{'}, S^{'}, V^{'} > 0$ ，但邊際效用遞減。

四、慈善經濟主義的效用極大化問題

4.1 約束式（文明預算約束）

不同於金錢預算，這裡是文明資源約束：

$p_L x_L + p_S x_S + p_V x_V \le B$ $p_{L} x_{L} + p_{S} x_{S} + p_{V} x_{V} \leq B$

$p_i$ $p_{i}$ ：單位文明投入的「制度性成本」（不必是價格）

$B$ $B$ ：可配置的文明資源總量（財政、時間、注意力、制度能力）

4.2 效用極大化問題

$\max_{x_L, x_S, x_V} \quad U = L(x_L)\cdot S(x_S)\cdot V(x_V)$ $x_{L}, x_{S}, x_{V} max U = L (x_{L}) \cdot S (x_{S}) \cdot V (x_{V})$

s.t.

$p_L x_L + p_S x_S + p_V x_V = B$ $p_{L} x_{L} + p_{S} x_{S} + p_{V} x_{V} = B$

五、推導慈善經濟主義的「需求函數」

5.1 拉格朗日函數 $\mathcal{L} = \ln L(x_L)+\ln S(x_S)+\ln V(x_V) +\lambda\left(B-\sum p_i x_i\right)$ $L = ln L (x_{L}) + ln S (x_{S}) + ln V (x_{V}) + λ (B - \sum p_{i} x_{i})$

（取對數是合理的，因為乘積效用）

5.2 一階條件（FOCs）

$\frac{L'(x_L)}{L(x_L)} = \lambda p_L$ $L ( x _{L} ) L ^{'} ( x _{L} ) = λ p_{L}$ $\frac{S'(x_S)}{S(x_S)} = \lambda p_S$ $S ( x _{S} ) S ^{'} ( x _{S} ) = λ p_{S}$ $\frac{V'(x_V)}{V(x_V)} = \lambda p_V$ $V ( x _{V} ) V ^{'} ( x _{V} ) = λ p_{V}$

5.3 核心結論（文明需求比例法則）

整理後得到：

$\frac{L'(x_L)}{L(x_L)} : \frac{S'(x_S)}{S(x_S)} : \frac{V'(x_V)}{V(x_V)} = p_L : p_S : p_V$ $L ( x _{L} ) L ^{'} ( x _{L} ) : S ( x _{S} ) S ^{'} ( x _{S} ) : V ( x _{V} ) V ^{'} ( x _{V} ) = p_{L} : p_{S} : p_{V}$

這就是慈善經濟主義的需求函數原型。

👉 需求不是「誰便宜就買誰」，
而是：
讓三個效用層級的「比例邊際改善率」保持結構平衡。

六、顯式需求函數（可畫需求曲線）

若假設常見的對數型生成函數：

$L(x_L)=x_L^{\alpha},\quad S(x_S)=x_S^{\beta},\quad V(x_V)=x_V^{\gamma}$ $L (x_{L}) = x_{L α}, S (x_{S}) = x_{S β}, V (x_{V}) = x_{V γ}$

則：

$U=x_L^{\alpha}x_S^{\beta}x_V^{\gamma}$ $U = x_{L α} x_{S β} x_{V γ}$

6.1 得到文明需求函數（Marshallian-type）

$x_L^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot \frac{B}{p_L}$ $x_{L *} = α + β + γ α \cdot p _{L} B$ $x_S^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot \frac{B}{p_S}$ $x_{S *} = α + β + γ β \cdot p _{S} B$ $x_V^*=\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot \frac{B}{p_V}$ $x_{V *} = α + β + γ γ \cdot p _{V} B$

關鍵差異（非常重要）

看起來像 Cobb–Douglas
但「商品」是文明效用層級，不是消費品
且 $p_i$ $p_{i}$ 是「制度性代價」，不是市場價格

七、慈善經濟主義的「需求曲線」長什麼樣？

7.1 對生命效用 $V$ $V$ 的需求曲線

$x_V(p_V)=\frac{\gamma B}{(\alpha+\beta+\gamma)p_V}$ $x_{V} (p_{V}) = ( α + β + γ ) p _{V} γ B$

但其經濟含義與傳統完全不同：

傳統需求曲線	慈善經濟主義需求曲線
價格↑ → 消費↓	制度性代價↑ → 文明投入重新配置
反映偏好	反映文明結構失衡
可被替代	不可低於生存/尊嚴門檻

八、最關鍵的理論斷裂

問：這不就是換皮的 Cobb–Douglas？

答（嚴格版）：不是。理由有三。

斷裂一：需求對象不同

傳統：商品
這裡：文明效用生成的結構性投入

斷裂二：不可替代約束

實際模型必須加上：

$x_i \ge \bar x_i \quad (i=L,S,V)$ $x_{i} \geq x ˉ_{i} (i = L, S, V)$

→ 若 $x_S < \bar x_S$ $x_{S} < x ˉ_{S}$ ，
即使 $x_L,x_V$ $x_{L}, x_{V}$ 增加，效用仍崩潰。

斷裂三：需求反映的是「文明病灶」

$x_V$ $x_{V}$ 的需求上升，不是因為便宜

而是因為 生命效用不足（意義危機）

這在傳統需求理論中是不存在的。

九、高度濃縮的學術結論

In Charity Economicism, demand is not derived from preferences over goods, but from the structural requirement to balance marginal improvements across living, survival, and life utilities under civilization-level constraints.

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